压力容器广泛应用于锅炉、化工、电力、冶金、石油、国防等工业领域，同时压力容器又是一种比较容易发生事故的特殊设备。压力容器事故轻则造成生产停产、设备损坏，重则造成人身伤亡及灾难性后果。因此，预防压力容器的事故发生，提高其可靠性并延长其安全使用寿命，对于安全生产和国民经济的稳定发展具有十分重要的意义。本文采用模糊因果图方法对压力容器故障进行分析。
1因果图模型1994年张勤教授在故障树和信度网的基础上提出了一种基于概率论的知识表达推理方法―“基于动态因果树/图的概率推理”。该模型能更有效地模拟客观世界，得到更加准确的推理结论。同时，因果图模型也是可能性传播图模型和故障影响传播图模型的基础，具有重要的工业应用价值，如在线故障诊断等。
采用因果图进行推理的主要目的是求解某事件在已知证据下的后验概率。在因果图中假定基本事件的概率值已知且独立。在进行推理时首先要将各项表达为基本事件的逻辑表达式，然后再计算其概率值。为了简化推理运算，在推理之前需要对因果图进行编译，以得到所有节点事件的逻辑表达式（该逻辑表达式的右边均为基本事件）。
因果图的计算分为4个步骤：1）求中间（节点）事件的一阶割集表达式这里割集就是一组事件（包括基本事件、连接事件、节点事件、逻辑门事件）以逻辑与的关系组合在一起，每个割集（CS）之间的关系为逻辑或。仅由和某节点事件相邻的事件构成的割集称为一阶割集。
2）求中间（节点）事件的最终割集表达式仅用基本事件和连接事件表示的割集表达式称为节点事件的最终割集。
3）求中间（节点）事件的不交化割集表达式设X =∪m i =1 C i，其中C i =∩n i j =1 V ij， C i是一个CS ，则节点事件X的不交化割集表达式可表示为X = C 1 + C 2 C 1 + C 3 C 1 C 2 +…+ C m C 1 C 2…C m - 1“+”为互斥或操作符。
4）计算某中间事件的概率Pr{ X i } ，或在给定证据E条件下，计算感兴趣事件的后验概率Pr{ V i | E} ，前者可用来做故障分析，后者可用来做故障诊断。
在因果图模型中，基本事件和连接事件的发生概率常被认为是精确值。然而对许多实际系统而言，由于事件的概念可能是模糊的，影响事件发生的因素复杂多变，因而不可能得到某一事件发生概率的精确值。此外，人为因素也是影响系统失效的一个重要原因，且占有较大的比例。由于各种行为的不可
预见性，难以得到其发生概率的精确值。针对这些模糊性、不确定性问题，本文将运用模糊数学这一数学手段，将模糊集理论引入因果图模型中，将基本事件发生的概率描述为一模糊数，不失一般性，在本文中，假定连接事件一定发生，即连接事件的概率为1 ，故不标注，若连接事件的概率不为1 ，而是一个模糊数，情况类似，然后通过模糊数的运算规则，利用因果图理论，对因果图进行因果推理或正向推理Pr（ X | Causes）、诊断推理或反向推理Pr（ X | Evidences）、辩解或因果混合推理Pr（ X | Causes & Evidences） ，这样它可以同时处理两种不确定性：随机性和模糊性，它能描述更普遍、更一般、更切合实际的现象。
2模糊数的引入采用模糊数来描述事件发生的概率，既可以减小获取事件发生概率精确值的难度，尤其是在大型复杂系统的可靠性分析中更是如此，同时又能结合工程技术人员的实际经验和判断构造模糊数的隶属函数，较准确地把它们描述出来，并能在一定程度上容忍描述的误差，因此，这种方法具有较大的灵活性和适应性。通常取隶属函数为线性函数（Linear Function）、正态型函数（Normal Function）或尖型函数（Sharp Function），如所示，由不同的隶属函数可定义不同的模糊数。
定义：模糊数A = （ m ，α，β），如果模糊数A的隶属函数满足μA（x） = L（m - xα），当x≤m ，α> 0 R（x - mβ），当x > m ，β> 0则称模糊数A为L 2 R型模糊数，其中m为A的均值，当α，β等于0时，A为非模糊数，α，β越大，A越模糊。
本文以隶属度函数为正态型为例说明，正态型模糊数的隶属函数为：μA（x） = L（m - xα）= exp < -（ m - x）2α2 >，x≤m ，α> 0 R（x - mβ）= exp < -（ m - x）2β2 >，x > m ，β> 0相应的λ截集为Aλ= < m - - lnλαm + - lnλβ>其中λ截集为令μA（ x）等于λ而求得的区间数，在本文中假定隶属函数关于均值对称，即α=β。设A ， B为正态型模糊数，根据典型扩张原则，对任意λ∈<0 ， 1> ，可以采用模糊数的每个λ截集进行区间运算，对于模糊数的截集四则运算如下（假设0 | < LλB， RλB >）：（1）加法Aλ+ Bλ= < LλA， RλA > + < LλB， RλB > = < LλA + LλB， RλA + RλB >（2）减法Aλ- Bλ= < LλA， RλA > - < LλB， RλB > = < LλA - LλB， RλA - RλB >（3）乘法Aλ×Bλ= < LλA， RλA >×< LλB， RλB > = < LλA×LλB， RλA×RλB >（4）除法AλBλ= < LλA， RλA > < LλB， RλB > = < LλA LλB， RλA RλB > 3模糊因果图的推理1）在因果图中，基本事件的概率值用模糊数来给出，然后运用模糊数运算规则，采用因果图推理
计算出所求事件概率的模糊数。
2）再通过模糊数学中的扩展原理可以求得各模糊数的隶属函数。
3）最后，把模糊数转化为模糊可能性值（反模糊化）。因为一个模糊数可代表不同隶属函数的许多实数，很难将结果进行比较，所以必须把模糊数转化为一个清晰值，即模糊可能性值（FPS）。运用Cheng和Hwang提出的左右模糊排序法
把模糊数转化为FPS。该方法定义最大模糊集为：f max（ x） = x ，0 < x < 1 0 ，f min（ x） = 1 - x ，0 < x < 1 0 ，则模糊数A的左、右模糊可能性值和模糊可能性值分别为：FPS R（A） = sup x <μA（ x）∧f max（ x） > FPS L（A） = sup x <μA（ x）∧f min（ x） > FPS T（A） = < FPS R（A） + 1 - FPS L（A）> 2 4压力容器的故障诊断，压力容器的故障树对应的因果图如所示。
首先，求中间事件的一阶割集表达式为：X 1 = X 2∪B 5∪B 6∪B 7∪B 8 X 2 = X 3∪X 4∪B 4 X 3 = B 1∩B 2 X 4 = B 1∩B 3其次，求中间事件的最终割集表达式为：X 3 = B 1∩B 2 = B 1 B 2 X 4 = B 1∩B 3 = B 1 B 3 X 2 = B 1 B 2∪B 1 B 3∪B 4 X 1 = B 1 B 2∪B 1 B 3∪B 4∪B 5∪B 6∪B 7∪B 8第三，求各中间事件的不交化割集表达式：X 3 = B 1 B 2 X 4 = B 1 B 3 X 2 = B 1 B 2 + B 2 B 1 B 3 + B 1 B 4 + B 1 B 2 B 3 B 4 X 1 = B 1 B 2 + B 1 B 2 B 3 + B 1 B 4 + B 1 B 2 B 3 B 4 + B 1 B 4 B 5 + B 1 B 2 B 3 B 4 B 5 + B 1 B 4 B 5 B 6 + B 1 B 2 B 3 B 4 B 5 B 6 + B 1 B 4 B 5 B 6 B 7 + B 1 B 2 B 3 B 4 B 5 B 6 B 7 + B 1 B 4 B 5 B 6 B 7 B 8 + B 1 B 2 B 3 B 4 B 5 B 6 B 7 B 8第四，在给定证据E条件下，计算感兴趣事件的后验概率Pr{ V i | E}。
根据上面步骤利用基本事件的概率可以求Pr{ X i } ， Pr{ B j | X i } ， Pr{ X i | B j }等。
例如，现在发现压力容器出现了裂纹，寻找引起裂纹的原因，我们可以分别求出Pr{ B 1 | X 2 } ，Pr{ B 2 | X 2 } ，Pr{ B 3 | X 2 } ，Pr{ B 4 | X 2 } ，再比较其大小，值最大的B i就是导致X 2（压力容器出现了裂纹）的原因。如Pr{ B 1 | X 2 } = Pr{ B 1 X 2 }/ Pr{ X 2 } = Pr{ B 1 B 2 + B 1 B 2 B 3 + B 1 B 2 B 3 B 4 } Pr{ B 1 B 2 + B 1 B 2 B 3 + B 1 B 4 + B 1 B 2 B 3 B 4 }把B i的λ截集代入，由模糊数的四则运即可算得Pr{ B 1 | X 2 } ，同理计算Pr{ B 2 | X 2 }、Pr{ B 3 | X 2 }、Pr{ B 4 | X 2 }的λ截集。
第五，求出各模糊数的隶属函数，它可以通过模糊数学中的扩展原理获得。
由于本文中假定的隶属函数是对称的正态型，故知道了模糊数可以求得其隶属函数，例如Pr{ B 1 | X 2 } = <3. 023 7×10 - 4 - 9. 956 2×10 - 5μ， 3. 023 7×10 - 4 + 9. 956 2×10 - 5μ> ，其中μ= - lnλ，对应的隶属度函数为：μB 1 | X 2（ x） = exp -（3. 023 7 - x）2（9. 956 2×10 - 5）2最后求出模糊可能性值：FPS R（ B 1 | X 2） = sup x <μB 1 | X 2（ x）∧f max（ x） > = 5. 743 5×10 - 4 FPS L（ B 1 | X 2） = sup x <μB 1 | X 2（ x）∧f min（ x） > = 1 FPS T（ B 1 | X 2） = < FPS R（ B 1 | X 2） + 1 - FPS L（ B 1 | X 2）>/ 2 = 2. 871 75×10 - 4下面是部分基本事件模糊数的λ截集及计算结果：Pr{ B 1 } = <9. 97×10 - 5 - 3. 285×10 - 5μ，9. 97×10 - 5 + 3. 285×10 - 5μ> Pr{ B 2 } = <4. 7×10 - 4 - 1. 548 65×10 - 4μ，4. 7×10 - 4 + 1. 548 65×10 - 4μ> Pr{ B 3 } = <2. 4×10 - 4 - 7. 908×10 - 5μ，2. 4×10 - 4 + 7. 908×10 - 5μ> Pr{ B 4 } = <3. 49×10 - 4 - 1. 15×10 - 4μ，3. 49×10 - 4 + 1. 15×10 - 4μ> Pr{ B 1 | X 2 } = <3. 023 7×10 - 4 - 9. 956 2×10 - 5μ，3. 023 7×10 - 4 + 9. 956 2×10 - 5μ> Pr{ B 2 | X 2 } = <6. 040 9×10 - 4 - 1. 989 8×10 - 4μ，6. 040 9×10 - 4 + 1. 989 8×10 - 4μ> Pr{ B 3 | X 2 } = <3. 084 8×10 - 4 - 1. 016 1×10 - 4μ，3. 084 8×10 - 4 + 1. 016 1×10 - 4μ> Pr{ B 4 | X 2 } = <0. 999 8 - 8. 594 3×10 - 5μ，0. 999 8 + 8. 594 3×10 - 5μ> FPS T { B 1 | X 2 } = 2. 871 75×10 - 4 FPS T { B 2 | X 2 } = 5. 5×10 - 4 FPS T { B 3 | X 2 } = 2. 924 5×10 - 4 FPS T { B 4 | X 2 } = 0. 499 8同理可求其他的Pr{ B j | X i } ，Pr{ X i | B j } ，甚至Pr{ B j | X i B k } ， Pr{ B j | X i X k } ，Pr{ X i | B j X k }等等。例如，求得FPS T { B 1 | X 2 }、FPS T { B 2 | X 2 }、FPS T { B 3 | X 2 }、FPS T { B 4 | X 2 }中FPS T { B 4 | X 2 }最大（计算结果如上所示） ，因此若发现压力容器出现了裂纹，最可能的原因是B 4，通过这些概率值的计算，求出概率值的大小，通过概率值的大小，可以进行故障分析和故障定位，从而实现故障诊断。
5结语针对实际情况事件发生概率具有模糊性和不确定性的特点，避免获取精确知识的难度，本文将模糊数引入因果图中，应用因果图推理后，进行反模糊化，既可进行故障分析，又可进行故障诊断，克服了故障树分析的不足，它兼有模糊故障诊断和故障树故障诊断的优势，具有很强的实用性。